An den Matheaufgaben der Mittelstufe beißen sich nicht nur Schüler und Studierende die Zähne aus, sondern auch viele Leser. Hier kommen die Lösungen.
Stuttgart - Am 7. April haben wir im Artikel „Unis kämpfen gegen Mathelücken“ und im Kommentar „Früh übt sich“ zum Mitrechnen aufgerufen. Inzwischen hat der Mathelehrer eines Gymnasiums in der Region Stuttgart freimütig eingeräumt: „Keiner meiner Schüler ist in der Lage, auch nur eine dieser abgedruckten Aufgaben zu lösen.“ Auch Harald Bauer, Studiendekan Bachelor Mathematik der Hochschule für Technik in Stuttgart, bestätigt die Mathelücken, mit denen viele junge Leute ihr Studium beginnen. Die HFT reagiere darauf mit einem umfangreichen Förderangebot. „Dass immer mehr Hochschulen sich gezwungen sehen, ähnliche ‚Alphabetisierungsprogramme’ einzurichten, ist ein deutliches Signal, dass hier zusehends Aufgaben übernommen werden (müssen), die früher bereits von schulischer Seite getragen wurden“, erklärt Bauer. Auch viele Leser, die das Thema umtreibt, haben sich in der Redaktion gemeldet. Hier finden Sie nun die Lösungen zu den Mittelstufe-Matheaufgaben:
Aufgabe 1 (20 x + 2)/(6 x + 6)-1= (6 x - 4)/(2 x + 2)
Lösung: 1: Kürzen der Brüche (10 x + 1)/(3 x + 3)-1= (3 x - 2)/( x + 1)(10 x + 1)/(3 x + 3)-(3 x - 2)/( x + 1)=1. 2: Multiplikation mit dem Hauptnenner 3(x+1): 10x+1-(9x-6)=3x+3daher 4=2x, x=2.
Aufgabe 2 1000x – 2 ∙ 100x = 3 ∙ 10x
Lösung: Substitution z=10x daher z³-2z²-3z=0z(z²-2z-3)=0z(z+1)(z-3)=0 z0=0 ist keine Lösung, da 10x ungleich 0, z1=-1 ist keine Lösung, da 10x ungleich -1, z2=3 ergibt 10x=3, also ist die einzige Lösung der Ausgangsgleichung x=log3
Aufgabe 3 E (xEx-x)+Ex=x
Lösung: E(xEx-x)=x-Ex Quadrieren ergibt xEx-x=x²- 2xEx+x 3xEx=x²+2x x0=0 ist eine Lösung
Für x ungleich 0 kann man durch x dividieren und erhält: 3Ex=x+2.
Mit der Substitution z=Ex erhält man die quadratische Gleichung z²-3z+2=0 mit den Lösungen z1=1 und z2=2. Die zugehörigen Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind also x1=1 und x2=4.
Insgesamt ergeben sich also drei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung.
Wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet
Aufgabe 4 Um wie viel Prozent ändert sich der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man eine Kathete um 20 Prozent verkürzt und die andere um 20 Prozent verlängert?
Lösung: Bezeichnet man die Katheten des Dreiecks mit a und b, so berechnet sich der Flächeninhalt A des Dreiecks zu A=½ ab. Verkürzt man die eine Kathete a um 20%, so ist ihre neue Länge a*=0,8 a, verlängert man die Kathete b um 20%, so ist ihre neue Länge b*=1,2 b, so dass der Inhalt der veränderten Dreiecksfläche A* sich wie folgt berechnet:
A*=½a*b*= ½∙0,8 a∙1,2 b = 0,8∙1,2∙A = 0,96∙A.
Die neue Dreiecksfläche beträgt also 96% der ursprünglichen Dreiecksfläche, das heißt der Flächeninhalt des Dreiecks verringert sich um 4%.
Die Gurkenaufgabe hat bei vielen Tests Kultstatus
Aufgabe 5 Eine Gurke besteht zu 90 Prozent aus Wasser und wiegt 500 Gramm. Nach einigen Tagen in der Küche ist ein Teil des Wassers verdunstet, und die Gurke besteht nur noch zu 80 Prozent aus Wasser. Wie schwer ist sie dann?
Lösung: Die Gurke besteht zu 10 Prozent aus fester Substanz, das sind 50 Gramm Gurkenfleisch. Diese 50 Gramm bleiben beim Verdunsten erhalten und bilden dann 20 Prozent der geschrumpften Gurke. Das Gewicht der geschrumpften Gurke ist das Fünffache, sprich 250 Gramm. Das Phänomen heißt auch „Kartoffelparadoxon“.